"¡Al infinito y más allá!"
¿Alguna vez has pensado profundamente en el famoso eslogan de Buzz Lightyear de las películas de "Toy Story"? Probablemente no. Pero tal vez a veces has mirado el cielo nocturno y te has preguntado sobre la naturaleza del infinito.
El infinito es un concepto extraño, uno que el cerebro humano tiene dificultades para comprender. Decimos que el universo puede ser infinito, pero ¿puede realmente continuar para siempre? O los dígitos de pi después del decimal: ¿se ejecutan realmente sin fin, siempre dándonos mucha más precisión sobre la relación entre la circunferencia y el radio de un círculo? Y, ¿podría Buzz estar en lo cierto? ¿Hay algo más allá del infinito?
Para hacer frente a estas especulaciones alucinantes, Live Science contó con la ayuda del matemático Henry Towsner de la Universidad de Pennsylvania en Filadelfia, quien tuvo la amabilidad de intentar responder a la pregunta: "¿Puedes contar el infinito pasado?" (Tenga cuidado: esto se volverá complicado).
El infinito, dijo Towsner, se encuentra en un lugar extraño: la mayoría de las personas sienten que tienen alguna intuición sobre el concepto, pero cuanto más lo piensan, más extraño se vuelve.
Los matemáticos, por otro lado, no suelen pensar en el infinito como un concepto en sí mismo, agregó. Por el contrario, emplean diferentes formas de pensar en ello para llegar a sus muchos aspectos.
Por ejemplo, hay diferentes tamaños de infinito. Esto fue probado por el matemático alemán Georg Cantor a fines de 1800, según una historia de la Universidad de St Andrews en Escocia.
Cantor sabía que los números naturales, es decir, números enteros positivos como 1, 4, 27, 56 y 15,687, continúan para siempre. Son infinitos, y también son lo que usamos para contar cosas, por lo que los definió como "infinitamente contables", según un sitio útil sobre historia, matemáticas y otros temas del dibujante educativo Charles Fisher Cooper.
Los grupos de innumerables números infinitos tienen algunas propiedades interesantes. Por ejemplo, los números pares (2, 4, 6, etc.) también son contablemente infinitos. Y aunque técnicamente hay la mitad de ellos que lo que abarca el conjunto completo de números naturales, siguen siendo el mismo tipo de infinito.
En otras palabras, puede colocar todos los números pares y todos los números naturales uno al lado del otro en dos columnas y ambas columnas irán al infinito, pero son la misma "longitud" del infinito. Eso significa que la mitad del infinito contable sigue siendo infinito.
Pero la gran idea de Cantor fue darse cuenta de que había otros conjuntos de números que eran infinitamente innumerables. Los números reales, que incluyen los números naturales, así como las fracciones y los números irracionales como pi, son más infinitos que los números naturales. (Si desea saber cómo Cantor lo hizo y puede manejar alguna notación matemática, puede consultar esta hoja de trabajo de la Universidad de Maine).
Si alineara todos los números naturales y todos los números reales uno al lado del otro en dos columnas, los números reales se extenderían más allá del infinito de los números naturales. Más tarde, Cantor se volvió loco, probablemente por razones ajenas a su trabajo en el infinito, según Cooper.
¿Qué es contar?
Entonces, volvamos a la cuestión de contar el infinito pasado. "Lo que las matemáticas te hacen preguntar es, '¿Qué significa eso realmente?", Dijo Towsner. "¿Qué quieres decir con contar el infinito pasado?"
Para llegar al problema, Towsner habló sobre los números ordinales. A diferencia de los números cardinales (1, 2, 3, etc.), que le dicen cuántas cosas hay en un conjunto, los ordinales se definen por sus posiciones (primero, segundo, tercero, etc.), y también fueron introducidos en las matemáticas por Cantor, según el sitio web de matemáticas Wolfram MathWorld.
En los números ordinales hay un concepto llamado omega, denotado por la letra griega ω, dijo Towsner. El símbolo ω se define como lo que viene después de todos los demás números naturales, o, como lo llamó Cantor, el primer ordinal transfinito.
Pero una de las cosas sobre los números es que siempre puedes agregar otro al final, dijo Towsner. Entonces, hay algo como ω + 1, y ω + 2 e incluso ω + ω. (En caso de que te lo estés preguntando, eventualmente tocas un número llamado ω1, que se conoce como el primer ordinal incontable).
Y dado que contar es como agregar números adicionales, estos conceptos de alguna manera te permiten contar el infinito pasado, dijo Towsner.
La extrañeza de todo esto es parte de la razón por la cual los matemáticos insisten en definir rigurosamente sus términos, agregó. A menos que todo esté en orden, es difícil separar nuestra intuición humana normal de lo que se puede demostrar matemáticamente.
"Las matemáticas te dicen, 'Introspect profundamente, ¿qué está contando?", Dijo Towsner.
Para nosotros, simples mortales, estas ideas pueden ser difíciles de calcular por completo. ¿Cómo lidian exactamente los matemáticos que trabajan con todos estos asuntos divertidos en su investigación diaria?
"Mucho de esto es práctica", dijo Towsner. "Desarrollas nuevas intuiciones con la exposición, y cuando la intuición falla, puedes decir: 'Estamos hablando de esta prueba rigurosa exacta paso a paso'. Entonces, si esta prueba es sorprendente, aún podemos verificar que sea correcta y luego aprender a desarrollar una nueva intuición en torno a eso ".
